By this author

TO THE BIRMAN–KREIN–VISHIK THEORY

Issue number 1 from 17.09.2025

Let A ≥ m_A > 0 be a closed positive definite symmetric operator in a Hilbert space ℌ, let \({{\hat {A}}_{F}}\) and \({{\hat {A}}_{K}}\) be its Friedrichs and Krein extensions, and let _∞ be the ideal of compact operators in ℌ. The following problem has been posed by M.S. Birman: Is the implication A^–1 ∈ G_∞ ⇒ (\({{\hat {A}}_{F}}\) )^–1 ∈ G_∞(ℌ) holds true or not? It turns out that under condition A^–1 ∈ G_∞ the spectrum of Friedrichs extension \({{\hat {A}}_{F}}\) might be of arbitrary nature. This gives a complete negative solution to the Birman problem.Let \(\hat {A}_{K}^{'}\) be the reduced Krein extension. It is shown that certain spectral properties of the operators (\({{I}_{{{{\mathfrak{M}}_{0}}}}}\) + \(\hat {A}_{K}^{'}\))^–1 and P₁(I + A)^–1 are close. For instance, these operators belong to a symmetrically normed ideal G, say are compact, only simultaneously. Moreover, it turns out that under a certain additional condition the eigenvalues of these operators have the same asymptotic.Besides we complete certain investigations by Birman and Grubb regarding the equivalence of semiboubdedness property of selfadjoint extensions of A and the corresponding boundary operators.

11 0

On kernels of invariant Schrödinger operators with point interactions. Grinevich–Novikov problem

Issue number 1 from 17.09.2025

Согласно Березину–Фаддееву под оператором Шрёдингера с точечными взаимодействиями понимают любое самосопряжённое расширение сужения оператора Лапласа на подмножество соболевского пространства . В настоящей заметке изучаются расширения (реализации), инвариантные относительно группы симметрий множества вершин правильного m-угольника. Такие реализации H_B параметризуются специальными циркулянтными матрицами . Мы описываем все такие реализации с нетривиальными ядрами. Решена задача Гриневича–Новикова о простоте нулевого собственного значения реализации H_B со скалярной матрицей и четным m. Показано, что при нечётном m нетривиальные ядра всех реализаций H_B со скалярными двумерны. Кроме того, для произвольных реализаций доказана оценка и описаны все инвариантные реализации с максимальной размерностью . Одна из них – расширение Крейна – минимальное положительное расширение оператора .

10 0

THE REALITY OF SPECTRAL SHIFT FUNCTIONS FOR CONTRACTIONS AND DISSIPATIVE OPERATORS

Issue number 1 from 17.09.2025

В недавних совместных работах авторов этой заметки решена известная проблема, остававшаяся открытой в течение многих лет, и, тем самым было доказано, что для произвольных сжатий в гильбертовом пространстве с ядерной разностью существует интегрируемая функция спектрального сдвига, для которой справедлив аналог формулы следов Лифшица–Крейна. Аналогичные результаты были получены и для пар диссипативных операторов. При этом в отличие от случая самосопряжённых и унитарных операторов может случиться так, что не существует вещественнозначной интегрируемой функции спектрального сдвига. В этой заметке мы анонсируем результаты, которые дают достаточные условия для существования вещественнозначной интегрируемой функции спектрального сдвига для пар сжатий. Мы также рассматриваем случай пар диссипативных операторов.

10 0