Статьи автора

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ И ТЕОРИЯ <i>p</i>-РЕГУЛЯРНОСТИ

Номер выпуска 1 от 01.07.2023

В статье рассматриваются различные модификации нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром и вырожденного в решении вида \(F(u,\varepsilon ) = {{u}_{t}} - {{u}_{{xx}}} + u{{u}_{x}} + \varepsilon {{u}^{2}} - f(x,t) = 0,\)            (1) где \(F:\Omega \to C([0,\pi ] \times [0,T])\), \(T > 0\), \(\Omega = {{C}^{2}}([0,\pi ] \times [0,T]\,)\,\mathbb{R}\) и \(u(0,t) = u(\pi ,t) = 0\), \(u(x,0) = \varphi (x)\), \(f(x,t) \in C([0,\pi ] \times [0,T])\), \(\varphi (x) \in C[0,\pi ]\). Нас будет интересовать наиболее важный в приложениях случай малого параметра ε с осциллирующими начальными условиями вида \(\varphi (x) = k\sin x\), где k –некоторая, вообще говоря, зависящая от ε, константа, и изучать вопрос существования решения в окрестности тривиального \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), которому соответствует \(k = k{\kern 1pt} * = 0\) и при каких начальных условиях на значения k возможно построение аналитического приближения этого решения при малых ε. Мы будем искать решение в традиционном русле разделения переменных на подпространстве функций вида \(u(x,t) = v(t)u(x)\), где \(v(t) = c{{e}^{{ - t}}}\), \(u(x) \in {{\mathcal{C}}^{2}}([0,\pi ])\). В этом случае рассматриваемая задача является вырожденной в точке \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), так как \({\text{Im}}F_{u}^{'}(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) \ne Z = \mathcal{C}([0,\pi ] \times [0,T])\). Это следует из теории Штурма–Лиувилла. Для осуществления наших целей мы применяем аппарат теории p-регулярности [6, 7, 15, 16] и показываем, что отображение \(F(u,\varepsilon )\) является 3-регулярным в точке \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), т.е. p = 3.

45 0

МЕТОД ЛОКАЛИЗАЦИИ ФИКТИВНЫХ ЭКСТРЕМУМОВ В ЗАДАЧЕ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Номер выпуска 1 от 01.07.2023

Рассматривается задача поиска глобального экстремума неотрицательной функции на положительном параллелепипеде в n-мерном евклидовом пространстве. Предложен метод локализации фиктивных экстремумов в ограниченной области вблизи начала координат, что позволяет отделить точку глобального экстремума от фиктивных экстремумов путем отбрасывания его на существенное расстояние от множества локализации фиктивных минимумов. При этом за счет выбора начальной точки в методе градиентного спуска удается обосновать сходимость итерационной последовательности к глобальному экстремуму минимизируемой функции.

42 0

P-ФАКТОР ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ СВЫРОЖДЕННОЙФУНКЦИЕЙ

Номер выпуска 1 от 15.11.2024

В статье рассматривается новый метод интерполяции нелинейных функций на отрезке, так называемый

41 0