- PII
- 10.31857/S2686954324040028-1
- DOI
- 10.31857/S2686954324040028
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 518 / Issue number 1
- Pages
- 10-17
- Abstract
- Let a hyperelliptic curve C of genus g defined over an algebraically closed field K of characteristic 0, given by the equation , where the polynomial is square-free and has odd degree . The curve contains a single “infinite” point , which is the Weierstrass point. There is a classical embedding of into the group of -points of the Jacobian variety of the curve , identifying the point with the unit element of the group . For , the article explicitly found representatives of birational equivalence classes such hyperelliptic curves with a marked unique point at infinity that the set contains at least 6 torsion points of order . It was previously known that for there are exactly 5 such equivalence classes, and for an upper bound was known that depended only on the genus of . We improve the previously known upper bound by almost 36 times.
- Keywords
- гиперэллиптическая кривая якобиево многообразие точки кручения метод Флина-Лепревоста
- Date of publication
- 15.06.2024
- Year of publication
- 2024
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 38
References
- 1. Lockhart P. On the discriminant of a hyperelliptic curve. // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 342(2). P. 729–752.
- 2. Зархин Ю.Г. Деление на 2 в гиперэллиптических кривых нечетной степени и их якобианах // Изв. РАН. Сер. матем. 2019. Т. 83. № 3. С. 93–112.
- 3. Bekker B.M., Zarhin Y.G. Torsion points of small order on hyperelliptic curves. // European Journal of Mathematics. 2022. V. 8. № 2. P. 611–624.
- 4. Boxall J., Grant D., Leprévost F. 5-torsion points on curves of genus 2 // J. London Math. Soc. 2001. V. 64(1). P. 29–43.
- 5. Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69. № 1(415). С. 3–38.
- 6. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209. № 4. С. 54–94.
- 7. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме классификации многочленов f с периодическим разложением √f в непрерывную дробь в гиперэллиптических полях // Известия РАН. Серия математическая. 2021. Т. 85. № 5. С. 152–189.
- 8. Федоров Г.В. Непрерывные дроби и проблема классификации эллиптических полей над квадратичными полями констант // Матем. заметки. 2023. Т. 114. № 6. С. 873–893.
- 9. Bekker B.M., Zarhin Y.G. Torsion points of order 2g+1 on odd degree hyperelliptic curves of genus g. // Trans. Amer. Math. Soc. 2020. V. 373. № 11. P. 8059–8094.
- 10. Flynn E.V. Large Rational Torsion on Abelian Varieties // J. Number Theory. 1990. V. 36. P. 257–265.
- 11. Leprévost F. Torsion sur des familles de courbes de genre g // Manuscripta mathematica. 1992. V. 75. P. 303–326.
- 12. Платонов В.П., Федоров Г.В. Бесконечное семейство кривых рода 2 над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых содержат рациональные точки порядка 28 // Докл. РАН. 2018. Т. 482. № 4. С. 385–388.
- 13. Rosenlicht M. Generalized Jacobian varieties // Ann. Math. 1954. V. 59. P. 505–530.
- 14. Serre J.-P. Algebraic Groups and Class Fields (Springer, New York, 1988).
- 15. Платонов В.П., Жгун В.С., Федоров Г.В. О конечности множества обобщенных якобианов с нетривиальным кручением над полями алгебраических чисел, // Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр. 2023. Т. 513. С. 66–70.
