- Код статьи
- 10.31857/S2686954323700236-1
- DOI
- 10.31857/S2686954323700236
- Тип публикации
- Статус публикации
- Опубликовано
- Авторы
- Том/ Выпуск
- Том 512 / Номер выпуска 1
- Страницы
- 5-9
- Аннотация
- В статье рассматриваются различные модификации нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром и вырожденного в решении вида \(F(u,\varepsilon ) = {{u}_{t}} - {{u}_{{xx}}} + u{{u}_{x}} + \varepsilon {{u}^{2}} - f(x,t) = 0,\) (1) где \(F:\Omega \to C([0,\pi ] \times [0,T])\), \(T > 0\), \(\Omega = {{C}^{2}}([0,\pi ] \times [0,T]\,)\,\mathbb{R}\) и \(u(0,t) = u(\pi ,t) = 0\), \(u(x,0) = \varphi (x)\), \(f(x,t) \in C([0,\pi ] \times [0,T])\), \(\varphi (x) \in C[0,\pi ]\). Нас будет интересовать наиболее важный в приложениях случай малого параметра ε с осциллирующими начальными условиями вида \(\varphi (x) = k\sin x\), где k –некоторая, вообще говоря, зависящая от ε, константа, и изучать вопрос существования решения в окрестности тривиального \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), которому соответствует \(k = k{\kern 1pt} * = 0\) и при каких начальных условиях на значения k возможно построение аналитического приближения этого решения при малых ε. Мы будем искать решение в традиционном русле разделения переменных на подпространстве функций вида \(u(x,t) = v(t)u(x)\), где \(v(t) = c{{e}^{{ - t}}}\), \(u(x) \in {{\mathcal{C}}^{2}}([0,\pi ])\). В этом случае рассматриваемая задача является вырожденной в точке \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), так как \({\text{Im}}F_{u}^{'}(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) \ne Z = \mathcal{C}([0,\pi ] \times [0,T])\). Это следует из теории Штурма–Лиувилла. Для осуществления наших целей мы применяем аппарат теории p-регулярности [6, 7, 15, 16] и показываем, что отображение \(F(u,\varepsilon )\) является 3-регулярным в точке \((u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)\), т.е. p = 3.
- Ключевые слова
- Дата публикации
- 01.05.2023
- Год выхода
- 2023
- Всего подписок
- 0
- Всего просмотров
- 36
Библиография
- 1. Baxley J.V. Nonlinear second-order boundary value problems: Continuous dependence and periodic boundary conditions // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1982. V. 31. № 2. P. 305–320.
- 2. Brezhneva O.A., Tret’yakov A.A. Marsden: Higher-order implicit function theorems and degenerate nonlinear boundary-value problems // Communications on Pure and Applied Analysis. 2008. V. 7. № 2. P. 293–315.
- 3. Gaines R. Continuous dependence on parameters and boundary data for nonlinear two-point boundary value problems // Pacific J. Math. 1969. V. 28. P. 327–336.
- 4. Grzegorczyk W., Medak B., Tret’yakov A.A. Application of p-regularity theory to nonlinear boundary value problems // Boundary Value Problems. 2013. V. 2013. P. 251, http:/www.boundaryvalueproblems.com/content/2013/1/251
- 5. Ingram S.K. Continuous dependence on parameters and boundary data for nonlinear two-point boundary value problems // Pacific J. Math. 1972. V. 41. P. 395–408.
- 6. Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. Фактор-анализ нелинейных отображений. М.: Наука, 1994.
- 7. Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. 2-регулярные решения нелинейных проблем. Теория и численные методы. М.: Наука, 1999.
- 8. Medak B. Development of p-regularity apparatus and its application to describing the structure of solution sets of degenerated differential equations, Doctoral thesis, UMCS, Lublin, 2013 (in Polish).
- 9. Medak B., Tret’yakov A.A. Existence of periodic solutions to nonlinear p-regular boundary value problem // Boundary Value Problems. 2015. V. 2015. P. 91. https://doi.org/10.1186/s13661-015-0360-2
- 10. Medak B., Tret’yakov A.A. Application of p-regularity theory to the Duffing equation // Boundary Value Problems. 2017. V. 2017. P. 85. https://doi.org/10.1186/s13661-017-0815-8
- 11. Medak B., Tret’yakov A.A. Continuous dependence of the singular nonlinear Van der Pol equation solutions with respect to the boundary conditions: Elements of p-regularity theory // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2021. V. 33. P. 1087–1107. https://doi.org/10.1007/s10884-020-09849-0
- 12. Michael E.A. Continuous selector // Ann. Math. 1956. V. 64. P. 562–580.
- 13. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: МГУ, Наука, 2004.
- 14. Тихонов А.Н., Василева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, Москва, Физматлит, 1998.
- 15. Tret’yakov A.A. The implicit function theorem in degenerate problems // Russ. Math. Surv. 1987. V. 42. P. 179–180.
- 16. Tret’yakov A.A., Marsden J.E. Factor analysis of nonlinear mappings: p-regularity theory // Communications on Pure and Applied Analysis. 2003. V. 2. № 4. P. 425–445.
