- PII
- 10.31857/S2686954324020061-1
- DOI
- 10.31857/S2686954324020061
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 516 / Issue number 1
- Pages
- 31-37
- Abstract
- According to Berezin and Faddeev, a Schrödinger operator with point interactions is any self-adjoint extension of the restriction of the Laplace operator to the subset of the Sobolev space . The present paper studies the extensions (realizations) invariant under the symmetry group of the vertex set of a regular m-gon. Such realizations HB are parametrized by special circulant matrices . We describe all such realizations with non-trivial kernels. А Grinevich–Novikov conjecture on simplicity of a zero eigenvalue of the realization HB with a scalar matrix and an even is proved. It is shown that for an odd m non-trivial kernels of all the realizations with scalar are two-dimensional. Besides, for arbitrary realizations the estimate is proved, and all the invariant realizations of the maximal dimension are described. One of them is the Krein realization, which is the minimal positive extension of the operator .
- Keywords
- операторы Шрёдингера с точечными взаимодействиями инвариантные операторы реализация Крейна кратность нулевого собственного значения
- Date of publication
- 15.10.2024
- Year of publication
- 2024
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 43
References
- 1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
- 2. Рид M., Саймон Б., Методы современной математической физики. Т. 3. М.: Мир, 1982. 443 с.
- 3. Тайманов И.А., Царев С.П. Двумерные операторы Шрёдингера с быстро убывающим рациональным потенциалом и многомерным L2-ядром // УМН. 2007. Т. 62. № 3 (375). С. 217–218.
- 4. Тайманов И.А., Царев С.П. Двумерные рациональные солитоны, построенные с помощью преобразований Мутара, и их распад // ТМФ. 2008. Т. 157. № 3. С. 188–207.
- 5. Гриневич П.Г., Новиков Р.Г., Многоточечные рассеиватели со связанными состояниями при нулевой энергии // ТМФ. 2017. Т. 193. № 2. С. 309–314.
- 6. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. № 5. С. 1011–1014.
- 7. Гриневич П.Г., Новиков Р.Г. Спектральное неравенство для уравнения Шрёдингера с многоточечным потенциалом // УМН. 2022. Т. 77. № 6 (468). С. 69–76.
- 8. Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Solvable Models in Quantum Mechanics: texts and monographs in Physics. Berlin–New York: Springer, 1988. 452 p.
- 9. Goloschapova N., Malamud M., Zastavnyi V. Radial Positive definite functions and spectral theory of Schrödinger operators with point interactions // Math. Nachr. 2012. V. 285. N 14–15. P. 1839–1859.
- 10. Malamud M.M., Schmudgen K. Spectral theory of Schrödinger operators with infinitely many point interactions and radial positive definite functions // J. Funct. Anal. 2012. N 263 (10). P. 3144–3194.
- 11. Маламуд М.М. , Марченко В.В. Инвариантные операторы Шрёдингера с точечными взаимодействиями в вершинах правильного многогранника // Матем. заметки. 2021. Т. 110. № 3. С. 471–477.
- 12. Деркач В.О., Маламуд М.М. Теория расширений симметрических операторов и граничные задачи. Киев, 2017. 612 с.
- 13. Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal. 1991. N 95. P. 1–95.
- 14. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений, Киев: Наукова думка, 1984. 284 с.
- 15. Schmüdgen K. Unboubded Self-adjoint Operators on Hilbert Space. Dordrecht–Heidelberg–New York–London: Springer, 2012.
